加拿大数学家西蒙柯亨在他对哥德尔的致敬中回忆道：在博士考试中，我被要求写出5个哥德尔定理。这个问题的实质是，每一个定理要么催生了一个新的分支，要么彻底改变了现代数学逻辑。证明理论、模型理论、递归理论、集合理论、直觉逻辑——所有这些都被哥德尔的工作转化了，或者在某些情况下，从哥德尔的著作中得到了它们的起源。
但在哥德尔的辉煌成就中，有一个格外突出——哥德尔不完全性定理。一个人不需要成为一个实践数学家来掌握不完全性定理的基本思想和信息。也许这就是为什么这个结果在流行的科学辩论中获得了如此多的勇气的原因。但这种巧妙的简洁只是1931年的作品与这位奥地利知识巨人的其他杰出作品区别开来的众多方面之一。
在我看来，当我们第一次遇到不完全性定理时，它不仅仅是许多数学结果中的一个。也就是说，它的目的不是确定某个抽象对象X是否具有属性。相反，它属于某一领域内可言数学命题的总和。人们可能会说，它说明了一切。
当然这样的论点有点过早，因为原始论文只是把句子集表述成数学原理的形式，但由于系统在包含基本算法的情况下就出现了不完备性，我们可以恰当地得出结论，认为这个结果中有一些非常深刻和非常深远的东西。然而，哥德尔本人，尽管他很谨慎，直到1935年看到图灵对可计算性的分析，他才相信所有形式系统都有一些精细的算术的不完全性。正是图灵的工作使不可判定性成为一个普遍的、具有哲学魅力的概念。在普林斯顿两百周年数学问题会议上，哥德尔说：塔尔斯基在他的演讲中强调一般递归概念的重要性。在我看来，这种重要性很大程度上是因为有了这个概念，人们第一次成功地给一个有趣的认识论概念下了一个绝对的定义，也就是说，不依赖于所选择的形式主义。
哥德尔指的是一种形式系统，其中某些真实的表述是无法证明的，图灵证明了人们可以想象的“计算机器”无法计算某个函数的值。由于他对可计算性概念的分析，图灵的情况不受形式系统选择的限制，因此是绝对的。他解释说：哥德尔已经表明（在数学原理的形式主义中）有命题u使得既不u也不u是可证明的。结果表明，在形式主义内不能给出数学原理（或具有基本算术的任意形式系统的K）的一致性的证明。我将证明，没有通用的方法可以判断给定公式是否可以在K中证明。
的确，这是反思数学真理概念的一大步，可能是历史上最重要的一步。它以一种独特而简单的方式向我们表明，真理并不立即意味着可证明。从这个意义上说，这种数学的结果对哲学家比数学家更重要。因此，包括哥德尔和图灵在内的哲学家，开始反思这个惊人定理的哲学意义。
现在，一般来说，由于图灵的工作为计算机科学奠定了基础，并最终导致了第一台计算机的建立，人们可以问关于计算机的数学能力：它们证明数学定理的“能力”的限制是什么？
一些思想家，如约翰·卢卡斯和著名物理学家罗杰·彭罗斯（他是2020年诺贝尔奖得主）相信哥德尔和图灵的工作以数学精度证明了人类的思维“无限超越机器”。尽管卢卡斯和彭罗斯的观点不同，他们的推理的要点是：考虑一个具有递归公理和足够表达能力来表述算术真理的正式系统s，它在图灵机m中有一个对等物。
你可以找到这个系统的一个哥德尔句子（一个从系统的角度无法判定的句子），它的真实性对人类来说是直观可见的。
由于m不能证明哥德尔的这句话，所以它的数学能力不如人脑。因此，人类的大脑具有某种机器所缺乏的制造数学的能力。
哥德尔还认为，大脑的认知能力比机器更强。他认为，分析基本数学概念，从而建立新的、更完美的无穷公理的过程，是我们优于机器的证据。他声称：在系统地建立数学公理的过程中，新的公理（这些公理与先前建立的公理之间的形式逻辑并不一致）一次又一次地变得明显起来。它并没有完全被前面提到的否定结果所排除，尽管如此，每一个明确提出的数学“是或不是”问题都是可以用这种方式解决的。因为正因为如此，基于机器无法模仿的原始概念的意义而产生的越来越多的新公理就变得显而易见了。（哥德尔，1995年，第385页）
哥德尔坚信，每一个数学上的“是”或“不是”问题都可以被回答，这种信念被称为“理性乐观主义”。虽然他公开支持这个观点，但他发现，他的不完整定理（以及图灵的工作）并不一定意味着人类现在和将来都将站在机器之上。
因为谁能说我们自己不是机器，只是比图灵机更有能力？也许我们可以用哥德尔的一句话：谁能证明人类思维的一致性？即使大脑超越了机器，也许它还有一些未知的东西。哥德尔在今天所谓的“哥德尔分离”中表达了可能性的范围：要么人类的思维超过了所有的机器（更精确地说，它能比任何机器决定更多的数字理论问题），要么存在着人类思维无法决定的数字理论问题。
每一种可能性都令人着迷：如果人类的思维能力超过了机器，那么我们的大脑中肯定有一些IT工程师无法构建的东西。换句话说，大脑不能被映射到电脑中。因此，我们的人工智能梦想被击碎了。这个选择激发了对意识本质的询问。人们可能会想，之所以不可能把它构造成机器，是因为它是非物质的。
第二种选择似乎更不现实。如果某些数学问题有一个答案，而这个答案是人类思维无法触及的，这就意味着我们可以谈论一些柏拉图式的“数学”——独立于我们思维的对象（定理），客观且不变。这似乎把我们推向了违背我们意愿的哲学观点！
还有第三种选择：虽然析取是以“非此即彼”的形式陈述的，但这两种可能性似乎并不相互排斥。两种情况都有可能发生。我们可以想到某种认知能力的层次，它从图灵机开始，然后进入人类的思维，然后到达后者无法到达的领域。这种选择引入了大量的本体论差异，因此是非常不经济的，但我们仍然不能排除它。
必须强调的是，第二次吸取并不意味着答案是不可接近的。也就是说，它仍然可能是没有“数学”的情况，而数学纯粹是人类心灵自由活动的果实。如果人类没有答案，那么就没有答案。这条路把我们引向了一个更深层次的问题：我们能否从一个接一个的“实际”任务中，以某种方式研究数学问题是否有抽象的答案？也许数学中使用的概念具有某种固有的形式，从而导致给定问题的“不合理“？也许有一些深奥的数学语法，可以告诉我们“没有确定一个任意问题的一般程序”，但为什么会这样？
如果我们愿意，我们可以进一步对初始情况进行问题分析。既然心智实际上是一台机器这一观点没有被证明是错误的，那么我们就可以假设存在某种“超级机器”，它能够看到我们的不完整性。这将把这个定理最初的哲学结论颠倒过来。
图灵相信，他和哥德尔的研究结果表明，抽象的人类大脑在数学上总是比一台人造计算机更有能力。但是，当所有计算机“联合起来”时，它是否会超越所有计算机的总和，这个问题并不是那么明显。图灵也看到了这个问题，他在1951年的BBc广播中说，机器不可能是智能的，我们不可能从机器的研究中学习到关于我们自己大脑的任何东西。
另一方面，哥德尔相信大脑无限地超越机器。在1936年的论文中，他（错误地）采用了图灵的推理，认为大脑可以等同于机器。他把这种说法称为“哲学谬误”。后来在与王浩的谈话中，他这样说
大脑在使用中不是静止的，而是不断发展的。
机器不能以这种方式发展。这种开发过程是非算法的、非机械的、机器无法追踪的。因此，机制和反机制之间的新论述开始于两位为计算机科学奠定理论基础的研究成果之父的陈述。
当然，在讨论中还有很多需要澄清的地方。“人类思维”、“抽象思维”以及“机器”的概念仍然需要一些解释。更不用提图灵的“独创性”和“直觉”概念，以及哥德尔的“数学直觉”，这些概念在这场争论中扮演着重要的角色，但仍然非常模糊。
我们在问题中越陷越深。一段时间以前，不完全性定理对我来说似乎是一个决定性的论点，结束了许多讨论。但最近我倾向于看到相反的情况：它激发了多少问题，以及这件艺术品在哲学上有多么丰富。
